2023-02-01

正多胞体についての考察

その他

教職の授業でレポートとして提出したもの。
4次元空間上で正多面体に相当する立体について。
定義や証明がざっくりなのはご容赦ください。

参考文献

以下のサイトに大変お世話になりました。

https://www2.hamajima.co.jp/kyoto-math/pdf/kyomath201902.pdf

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/lectures/kohno_dimensions.pdf

面 (幾何学) - Wikipedia

2021-08-12

数学夏祭り問2 解説

その他

本ブログ (ぐるます) にて、2020年9月2日に投稿した記事を移行したものです。

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こちらの問題

$\triangle{ABC}$ は $\displaystyle{ \angle B = \frac{\pi}{4},\ \angle C = \frac{\pi}{8},\ BC = \sqrt 6}$ である。
$\triangle{ABC}$ の垂心を $H$ 、外心を $O$ 、重心を $G$ とし、外心に対して垂心と対象な点を $L$ 、線分 $GL$ を $m : n$ に外分する点を $D$ とする。 (ただし、 $m,\ n$ は $0 < n < m$ をみたす実数とする。)
四角形 $ABDC$ の面積 $S$ を、 $m,\ n$ を用いた式で表せ。

の解説記事です。

簡易的な手書きの解説を記事1番下に載せてあります。

まず $\triangle{ABC}$ はこのような三角形になりますね。

問題文で与えられた各点の位置を図示してみましょう。

垂心 $H$ はこのようになります。

$H$ から辺 $BC,\ AB,\ CA$ (またはその延長) に下ろした垂線の足を、それぞれ $P,\ Q,\ R$ としておきます。

ここで、 $\angle B,\ \angle C$ の角度がわかっていることと、直角の箇所がいくつも見つかることから、さまざまな場所の角度を求めてみると、下図の同じ色の角度がすべて等しくなることがわかります。

ピンク色の角は $\angle B$ に等しいので $\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}$ 、青色の角は $\angle C$ に等しいので $\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}$ ですね。

よって、 $\triangle{APB},\ \triangle{HPC},\ \triangle{BQC},\ \triangle{HAQ}$ はすべて直角二等辺三角形です。そのため、直角を挟む $2$ 辺の長さは等しくなります。

また、 $\triangle{ABH}$ は $AB = AH$ の二等辺三角形であることもわかります。

ここで、辺 $BC$ の中点を点 $M$ とします。
外心 $O$ は下図のようになります。

辺 $BC,\ AB$ の垂直二等分線を黄色の破線で示しています。 $O$ はこの $2$ 直線の交点ですね。

次に重心 $G$ はこのようになります。

線分 $AM$ を $2:1$ に内分する点です。

そして、点 $L,\ D$ はこうなります。

$OH = OL,\ GD:DL = m:n$ ですね。

ようやく四角形 $ABDC$ が見えました。この面積を求めるのですね。

さて、この四角形の面積を求めるには、まず何を求める必要があるでしょうか？
$BC$ の長さがわかっていますから、 $\triangle{ABC}$ と $\triangle{BCD}$ の面積の和として求めるのがよさそうです。

ということは、点 $D$ から辺 $BC$ に下ろした垂線 ( $DE$ とします) の長さと、線分 $AP$ の長さがわかればよいですね。

まずは $AP$ の長さを求めます。
$AP = x$ とおくと、 $BP,\ AB,\ AH,\ PC$ は次のように表すことができます。

ここで $PH = PC$ ですから、

$\sqrt{2}x + x = \sqrt 6 - x$

これを解いて

$x = \sqrt 6 - \sqrt 3$

ゆえに　 $AP = \sqrt 6 - \sqrt 3$

では次に $DE$ の長さです。
$AP$ は周りに二等辺三角形がたくさんあったため、幾何的に求めることができたのですが、 $DE$ はどうでしょうか。

$\triangle{BCD}$ や半直線 $HL$ 周辺の角度や線分の長さがほとんどわからず、厳しそうですね。

今わかっている情報は

$O$ は線分 $HL$ の中点であること
$D$ は $GL$ を $m:n$ に外分する点であること

なのですが、これらの条件を幾何的に利用するのは難しい気がします。

ではどうすれば利用しやすいでしょうか？

座標を使うのです。
座標を使えば、中点や外分点を簡単に求めることができるからです。
先ほどの図を $xy$ 平面上に配置してみましょう。

計算しやすければどう配置してもよいのですが、ここでは直交する $2$ 線分、 $BC$ と $HP$ がそれぞれ $x$ 軸、 $y$ 軸と重なるように配置してみます。
すなわち、 $P$ が原点です。 $O$ は外心なので、 $xy$ 平面の原点は $O'$ としています。

こうすると、今求めようとしている $DE$ の長さは、 $D$ の $y$ 座標の絶対値として求められそうですよね。
すなわち、まずは $D$ の座標を求めるのが目標です。

それでは各点の座標を求めていきます。
$A,\ B,\ C,\ H$ については、 $AP$ を求めたときの図より

$A(0,\ \sqrt 6 - \sqrt 3),\ B(\sqrt 3 - \sqrt 6 ,\ 0),$
$C(\sqrt 3,\ 0),\ H(0,\ \sqrt 3)$

$M$ は $BC$ の中点なので

$\displaystyle{ \frac{(\sqrt 3 - \sqrt 6,\ 0)+(\sqrt 3 ,\ 0)}{2} = \left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ 0\right)}$

$G$ は $AM$ を $2:1$ に内分するので

$\displaystyle{ \frac{(0,\ \sqrt 6 - \sqrt 3)+2\left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ 0\right)}{3} = \left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{3},\ \frac{\sqrt 6 - \sqrt 3}{3}\right)}$

$O$ は $2$ 本の黄色の破線の交点であることから、 $x$ 座標が $M$ と同じで、なおかつ直線 $y = -x$ 上にある点となるので

$\displaystyle{\left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ -\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2}\right)}$

$L$ は $HL$ の中点が $O$ であることから、 $L(L_x,\ L_y)$ とおくと

$\displaystyle{\frac{(0,\ \sqrt 3)+(L_x,\ L_y)}{2} = \left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ -\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2}\right)}$

これを解いて

$L(2\sqrt 3 - \sqrt 6,\ \sqrt 6 - 3\sqrt 3)$

さて、これで無事に $G$ と $L$ が求まったので、 $D$ の座標を $m$ と $n$ で表すことができます。

$\displaystyle{\frac{-n \left(\frac{2\sqrt 3 - \sqrt 6}{3},\ \frac{\sqrt 6 - \sqrt 3}{3} \right) + m (2\sqrt 3 - \sqrt 6,\ \sqrt 6 - 3\sqrt 3)}{m-n}=\left(\frac{(6\sqrt 3 - 3\sqrt 6)m + (-2\sqrt 3 + \sqrt 6)}{3(m-n)},\ \frac{(-9\sqrt 3 + 3\sqrt 6)m + (\sqrt 3 - \sqrt 6)n}{3(m-n)}\right)}$

図から $D$ の $y$ 座標は負であるので、 $DE$ の長さは、 $y$ 座標の符号を反転させて (絶対値をとって)

$\displaystyle{ \frac{(9\sqrt 3 - 3\sqrt 6)m + (-\sqrt 3 + \sqrt 6)n}{3(m-n)}}$

であるとわかりました。

これで四角形 $ABDC$ の面積を求めることができます。
$\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (AP + DE) \\ &= \frac{\sqrt 6}{2} \cdot \left\{\sqrt 6 - \sqrt 3 + \frac{(9\sqrt 3 - 3\sqrt 6)m + (-\sqrt 3 + \sqrt 6)n}{3(m-n)}\right\} \\ &= \frac{\sqrt 6}{2} \cdot \frac{6 \sqrt 3 m -2\sqrt 6 n + 2\sqrt 3 n}{3(m-n)} \\ &= \frac{3\sqrt 2 m + (\sqrt 2 - 2)n}{m-n} \end{align}$

【簡易解説】

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2021-08-12

数学夏祭り問1 解説

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こちらの問題、

$\displaystyle{ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{r}{79}}$ 　 $(p \le q,\ \ r<79)$
をみたす正整数 $p,\ q,\ r$ の組をすべて求め、 $p$ の小さい順に並べたとき、前から $3$ 番目の $r$ と後ろから $5$ 番目の $q$ を掛けた数 $(r \times q)$ を答えよ。

の解説記事です。

まずは条件の式をよく観察してみます。

$79$ というなんとも中途半端な数が目につきますが、 $79$ は素数ですね。整数問題では左辺と右辺の因数を比較して解を絞り込むことがよくあるので、 $79$ がこれ以上素因数分解できないことが武器になるのでしょう。
そして、分数 + 分数 = 分数という形をしています。
$p,\ q,\ r$ は正整数ですから、やはりここは整数問題に帰着して考えたいところです。

通分して、分数の出てこない形に変形してみます。

$\displaystyle{ \frac{p+q}{pq} = \frac{r}{79}}$ 　(通分)

両辺に $79pq$ を掛けて

$79(p+q) = pqr$ 　･･･ (＊)

$p \neq 0,\ q \neq 0$ ですから、これは条件の式と同値です。
以下、この(＊)を使って考えていきます。

式(＊)に出てくる文字と数はすべて正整数なので、先ほどちらっと書いたように、両辺の因数を比較することができます。
左辺が $79$ を因数にもつことから、当然右辺も $79$ を因数にもつことになります。
$79$ (素数) はこれ以上素因数分解で分割できないので、 $p,\ q,\ r$ のうちの少なくとも1つが $79$ という因数をまるごと全部もっている、すなわち $79$ の倍数 ( $0$ を除く) であることになります。

ここで、問題文の条件を思い出しましょう。 $r$ は $79$ 未満であることが条件なのでした。
ということは、 $r$ は $0$ を除く $79$ の倍数 $(= 79,\ 158,\ 237,\$ ･･･ $)$ にはなり得ません。
よって、 $79$ の倍数であるのは $p$ または $q$ です。
$p$ と $q$ のどちらであるのかまでは絞り込めないので、ここからは場合分けをして考えていきます。

(i) $p$ と $q$ の両方が $79$ の倍数であるとき
(ii) $p$ のみが $79$ の倍数であるとき
(iii) $q$ のみが $79$ の倍数であるとき
の3パターンです。

(i) $p$ と $q$ の両方が $79$ の倍数であるとき

$k, \ l$ を自然数として、

$p = 79k, \ q = 79l$ 　(ただし $k \le l$ )

とおけます。もとの式(＊)に代入して

$79(79k+79l) = 79k \cdot 79l \cdot r$

両辺を $79^2$ で割って

$k+l = klr$

先ほどと同様に因数比較をしたいのですが、そんなときは、式に登場する項の中から、共通因数を見つけて括り出すことが有効です。

上の式を移項して $k$ を括り出してみましょう。

$k(lr-1) = l$ 　･･･ (1)

$k$ と $lr-1$ は整数なので、 $l$ は因数に $k$ を含んでいなければなりません。すなわち、 $l$ は $k$ の倍数です。

よって、 $m$ を自然数として、

$l = km$

とおけます。

共通因数を括り出したことで、 $l$ についての情報が1つ増えましたよね。今やったような操作は、これ以降もたくさん使っていきます。

上の式を式(1)に代入して

$k(kmr-1) = km$

両辺を $k$ で割って

$kmr-1 = m$

先ほどと同様に、移項して $m$ を括り出して

$m(kr-1) = 1$

ゆえに

$m=1, \ kr-1 = 1$ (すなわち $kr=2$ )

となるので、

$(k, \ r) = (1,\ 2), \ (2, \ 1)$

$m=1$ であるので、 $k=l$ 、すなわち $p=q$ であったということですね。

よって

$(p,\ q,\ r) = (79,\ 79,\ 2),\ (158,\ 158,\ 1)$

(ii) $p$ のみが $79$ の倍数であるとき

$k$ を自然数として

$p=79k$

とおけます。式(＊)に代入して

$79(79k+q) = 79kqr$

両辺を $79$ で割って

$79k+q = kqr$

移項して $k$ を括り出して

$k(qr-79)=q$ 　･･･ (2)

よって $q$ は $k$ の倍数なので、 $l$ を自然数として

$q=kl$

とおけます。式(2)に代入して

$k(klr-79)=kl$

両辺を $k$ で割って

$klr-79=l$

移項して $l$ を括り出して

$l(kr-79)=79$ 　･･･ (3)

ここで、 $l$ と $kr-79$ のどちらかが $1$ 、どちらかが $79$ となります。

とりあえず両方試してみましょう。
$l=79$ と仮定すると、 $q\ (=kl)$ は $79$ の倍数となり、 $p$ のみが $79$ の倍数であることに矛盾します。
一方 $l=1$ と仮定すると、 $p=79k, \ q=k$ となり、問題文の条件 $p \le q$ に矛盾します。

いずれの場合も矛盾するので、(ii)のとき、解はありません。

(iii) $q$ のみが $79$ の倍数であるとき

上の(ii)の議論において、 $p$ を $q$ 、 $q$ を $p$ に置き換えた議論を考えると

$q=79k,\ p=kl$ 　( $k, \ l$ は自然数)

とおけて、(3)式

$l(kl-1)=79$

が同様に成り立ちます。

$l=79$ と仮定すると、(ii)と同様に、 $p\ (=kl)$ は $79$ の倍数となり、 $q$ のみが $79$ の倍数であることに矛盾します。
一方 $l=1$ と仮定すると、 $p=k, \ q=79k$ となり、これは問題文の条件 $p \le q$ をみたしています。

よって

$l=1, \ kr-1=79$ (すなわち $kr=80$ )

となるので

$(k,\ r) = (1,\ 80),\ (2,\ 40),\ (4,\ 20),\ (5,\ 16),\ (8,\ 10),\ (10,\ 8),\ (16,\ 5),\ (20,\ 4),\ (40,\ 2),\ (80,\ 1)$

$r<79$ より、 $(1,\ 80)$ は適さないので

$(k,\ r) = (2,\ 40),\ (4,\ 20),\ (5,\ 16),\ (8,\ 10),\ (10,\ 8),\ (16,\ 5),\ (20,\ 4),\ (40,\ 2),\ (80,\ 1)$

ゆえに

$(p,\ q,\ r) = (1,\ 79,\ 80),\ (2,\ 2 \cdot 79,\ 40),\ (4,\ 4 \cdot 79,\ 20),\ (5,\ 5 \cdot 79,\ 16),\ (8,\ 8 \cdot 79,\ 10),\ (10,\ 10 \cdot 79,\ 8),\ (16,\ 16 \cdot 79,\ 5),\ (20,\ 20 \cdot 79,\ 4),\ (40,\ 40 \cdot 79,\ 2),\ (80,\ 80 \cdot 79,\ 1)$

(i)〜(iii)の結果を合わせて、
$p$ の小さい順に並べると

以上より求める $r \times q$ は

$16 \times 20 \cdot 79 = 25280$

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2020-06-27

6/23解析

解析

問題

f:id:gurumath11235:20200719103028p:plain

f:id:gurumath11235:20200719103159j:plain

今週の解析課題
アステロイド
x(t) = a･cos³ t, y(t) = a･sin³ t (0≦t<2π) 上の
点T(x(b), y(b)) (ただし b ≠ 0, π/2, π, 3π/2) における接線
y = - tan b x + a･sin b が
x軸とy軸によって切り取られてできる線分ABの長さは、aに等しい pic.twitter.com/insw6eXWkX
— かざぐるま (@1_1_2_3_5__) 2020年6月27日

2020-06-25

合成関数

解析

f:id:gurumath11235:20200719104001j:image

合成関数の図形的な解釈動画編
オレンジの点の軌跡が、ピンクの関数を緑の関数に代入した合成関数を表します。
青の点線はy=xで、これは、ある点のy座標を跳ね返すことでx座標に移すはたらきをします。 pic.twitter.com/LfSnvDKtZI
— かざぐるま (@1_1_2_3_5__) 2020年6月25日