ぐるめも

数学メモ帳。抽象を具体に

数学夏祭り 問2 解説

その他

本ブログ (ぐるます) にて、2020年9月2日に投稿した記事を移行したものです。

こちらの問題

\triangle{ABC} は \displaystyle{ \angle B = \frac{\pi}{4},\ \angle C = \frac{\pi}{8},\ BC = \sqrt 6} である。
\triangle{ABC} の垂心を H 、外心を O 、重心を G とし、外心に対して垂心と対象な点を L 、線分 GL を m : n に外分する点を D とする。 (ただし、 m,\ n は 0 < n < m をみたす実数とする。)
四角形 ABDC の面積 S を、 m,\ n を用いた式で表せ。

の解説記事です。


簡易的な手書きの解説を記事1番下に載せてあります。



まず \triangle{ABC} はこのような三角形になりますね。

問題文で与えられた各点の位置を図示してみましょう。


垂心 H はこのようになります。

H から辺 BC,\ AB,\ CA (またはその延長) に下ろした垂線の足を、それぞれ P,\ Q,\ R としておきます。

ここで、 \angle B,\ \angle C の角度がわかっていることと、直角の箇所がいくつも見つかることから、さまざまな場所の角度を求めてみると、下図の同じ色の角度がすべて等しくなることがわかります。

ピンク色の角は \angle B に等しいので \displaystyle{ \frac{\pi}{4}} 、青色の角は \angle C に等しいので \displaystyle{ \frac{\pi}{8}} ですね。

よって、 \triangle{APB},\ \triangle{HPC},\ \triangle{BQC},\ \triangle{HAQ} はすべて直角二等辺三角形です。そのため、直角を挟む 2 辺の長さは等しくなります。

また、 \triangle{ABH} は AB = AH の二等辺三角形であることもわかります。


ここで、辺 BC の中点を点 M とします。
外心 O は下図のようになります。

辺 BC,\ AB の垂直二等分線を黄色の破線で示しています。 O はこの 2 直線の交点ですね。


次に重心 G はこのようになります。

線分 AM を 2:1 に内分する点です。


そして、点 L,\ D はこうなります。

OH = OL,\ GD:DL = m:n ですね。


ようやく四角形 ABDC が見えました。この面積を求めるのですね。


さて、この四角形の面積を求めるには、まず何を求める必要があるでしょうか？
BC の長さがわかっていますから、 \triangle{ABC} と \triangle{BCD} の面積の和として求めるのがよさそうです。

ということは、点 D から辺 BC に下ろした垂線 ( DE とします) の長さと、線分 AP の長さがわかればよいですね。

まずは AP の長さを求めます。
AP = x とおくと、 BP,\ AB,\ AH,\ PC は次のように表すことができます。

ここで PH = PC ですから、

\sqrt{2}x + x = \sqrt 6 - x

これを解いて

x = \sqrt 6 - \sqrt 3

ゆえに 　 AP = \sqrt 6 - \sqrt 3


では次に DE の長さです。
AP は周りに二等辺三角形がたくさんあったため、幾何的に求めることができたのですが、 DE はどうでしょうか。

\triangle{BCD} や半直線 HL 周辺の角度や線分の長さがほとんどわからず、厳しそうですね。

今わかっている情報は

  • O は線分 HL の中点であること
  • D は GL を m:n に外分する点であること

なのですが、これらの条件を幾何的に利用するのは難しい気がします。

ではどうすれば利用しやすいでしょうか？


座標を使うのです。
座標を使えば、中点や外分点を簡単に求めることができるからです。
先ほどの図を xy 平面上に配置してみましょう。

計算しやすければどう配置してもよいのですが、ここでは直交する 2 線分、 BC と HP がそれぞれ x 軸、 y 軸と重なるように配置してみます。
すなわち、 P が原点です。 O は外心なので、 xy 平面の原点は O' としています。

こうすると、今求めようとしている DE の長さは、 D の y 座標の絶対値として求められそうですよね。
すなわち、まずは D の座標を求めるのが目標です。


それでは各点の座標を求めていきます。
A,\ B,\ C,\ H については、 AP を求めたときの図より

A(0,\ \sqrt 6 - \sqrt 3),\ B(\sqrt 3 - \sqrt 6 ,\ 0),
C(\sqrt 3,\ 0),\ H(0,\ \sqrt 3)


M は BC の中点なので

\displaystyle{ \frac{(\sqrt 3 - \sqrt 6,\ 0)+(\sqrt 3 ,\ 0)}{2} = \left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ 0\right)}


G は AM を 2:1 に内分するので

\displaystyle{ \frac{(0,\ \sqrt 6 - \sqrt 3)+2\left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ 0\right)}{3} = \left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{3},\ \frac{\sqrt 6 - \sqrt 3}{3}\right)}


O は 2 本の黄色の破線の交点であることから、 x 座標が M と同じで、なおかつ直線 y = -x 上にある点となるので

\displaystyle{\left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ -\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2}\right)}


L は HL の中点が O であることから、 L(L_x,\ L_y) とおくと

\displaystyle{\frac{(0,\ \sqrt 3)+(L_x,\ L_y)}{2} = \left(\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2},\ -\frac{2\sqrt 6 - \sqrt 3}{2}\right)}

これを解いて

L(2\sqrt 3 - \sqrt 6,\ \sqrt 6 - 3\sqrt 3)


さて、これで無事に G と L が求まったので、 D の座標を m と n で表すことができます。

\displaystyle{\frac{-n \left(\frac{2\sqrt 3 - \sqrt 6}{3},\ \frac{\sqrt 6 - \sqrt 3}{3} \right) + m (2\sqrt 3 - \sqrt 6,\ \sqrt 6 - 3\sqrt 3)}{m-n}=\left(\frac{(6\sqrt 3 - 3\sqrt 6)m + (-2\sqrt 3 + \sqrt 6)}{3(m-n)},\ \frac{(-9\sqrt 3 + 3\sqrt 6)m + (\sqrt 3 - \sqrt 6)n}{3(m-n)}\right)}

図から D の y 座標は負であるので、 DE の長さは、 y 座標の符号を反転させて (絶対値をとって)

\displaystyle{ \frac{(9\sqrt 3 - 3\sqrt 6)m + (-\sqrt 3 + \sqrt 6)n}{3(m-n)}}

であるとわかりました。


これで四角形 ABDC の面積を求めることができます。
\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (AP + DE) \\ &= \frac{\sqrt 6}{2} \cdot \left\{\sqrt 6 - \sqrt 3 + \frac{(9\sqrt 3 - 3\sqrt 6)m + (-\sqrt 3 + \sqrt 6)n}{3(m-n)}\right\} \\ &= \frac{\sqrt 6}{2} \cdot \frac{6 \sqrt 3 m -2\sqrt 6 n + 2\sqrt 3 n}{3(m-n)} \\ &= \frac{3\sqrt 2 m + (\sqrt 2 - 2)n}{m-n} \end{align}




【簡易解説】